梯度旋度和散度

有关梯度旋度和散度的定义和计算,记录一下

1.定义

1.1梯度

设函数$ u=f(x,y,z) $在空间区域$ G $内具有一阶连续偏导数，其中点$ P(x,y,z) \in G $ 则向量

$$ \left( \frac {\partial f}{\partial x}, \frac {\partial f}{\partial y}, \frac {\partial f}{\partial z} \right)= \frac {\partial f}{\partial x}\vec i+ \frac {\partial f}{\partial y}\vec j+ \frac {\partial f}{\partial z}\vec k $$

为函数$ u=f(x,y,z) $在点$ P(x,y,z) $的梯度

记为$ grad;f(x,y,z) $ 或$ \nabla f(x,y,z) $

(注: $ \nabla = \frac {\partial}{\partial x}\vec i+\frac {\partial}{\partial y}\vec j+\frac {\partial}{\partial z}\vec k $为三维的向量微分算子)

1.2旋度

在三维空间$ G $ 中有三维直角坐标系$ O_{xyz} $,设向量场:

$$ \vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k $$

其中$ v_x,v_y,v_z $具有一阶连续偏导数,点$ P(x,y,z) \in G $

向量

$$ \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \cr \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \cr v_x & v_y & v_z \cr \end{vmatrix} = (\frac {\partial v_z}{\partial y} - \frac {\partial v_y}{\partial z})\vec i+ (\frac {\partial v_x}{\partial z} - \frac {\partial v_z}{\partial x})\vec j+ (\frac {\partial v_y}{\partial x} - \frac {\partial v_x}{\partial y})\vec k $$

为向量场$ \vec v $ 在点$ P(x,y,z) $的旋度

记为$ curl;v $或者$ \nabla \times v $

1.3散度

在三维空间$ G $ 中有三维直角坐标系$ O_{xyz} $,设向量场:

$$ \vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k $$

其中$ v_x,v_y,v_z $具有一阶连续偏导数,点$ P(x,y,z) \in G $

标量

$$ \frac {\partial v_x}{\partial x}+ \frac {\partial v_y}{\partial y}+ \frac {\partial v_z}{\partial z} $$

为向量场$$在点$$的散度

记为$div;v$或$\nabla \cdot v$