SNR与EVM的关系

关系

当SNR较大（大于10dB）时，SNR=-20lg(EVM)，其中SNR的单位为dB，EVM为正实数。

如果EVM用dB表示，可以简化为SNR = -2*EVM_dB。(此式在SNR大于4dB时，误差较小，不超过1dB)

下面依次介绍 log、dB、dBm、evm、snr的概念，再说明此结论的推导过程。

对数公式

如果a^b=N(a>0,且a≠1，则b叫做以a为底N的对数，公式如下，其中a叫做底数，N叫做真数， b叫对数。

对数

通常我们将以10为底的对数叫常用对数，以e为底的对数叫自然对数。

常用对数：$ lg(b) = log_{10}(b) $ (10为底数)。

自然对数：$ ln(b) = log_{e}(b) $ (e为对数)。

对数的基本性质中，下面的结论经常用到：

$$ \begin{array}{l} log_{a}M^n = nlog_{a}M \cr lg10 = 1 \cr lg2 \approx 0.3 \cr lg1 = 0 \end{array} $$

信号强度

日常中通常使用功率来衡量一个电器做功的快慢，如一个10W的电灯泡，10W功率就是电灯泡消耗能量做功的快慢。

在天线收发系统里，同样也需要消耗电能来转换为电磁波的能量进行传输。

但是电磁波的能量衰减非常快，例如一个100mW的能量源，传输一段距离后很快就能衰减成1mW、0.1mW、0.01mW甚至更小。

对于这种呈几何数量级的衰减，使用功率来衡量会给计数带来不便，因此引用新的概念：dB和dBm。

dB介绍

dB是一个表征相对值的值，纯粹的比值，只表示两个量的相对大小关系，没有单位。公式为dB=10lg(A/B)，一般作为（SNR）信噪比、损耗的单位。

当考虑甲的功率相比于乙功率大或小多少个dB时，按下面的计算公式：10log（甲功率/乙功率）。

例如A的功率为100mW，B的功率为10mW，则10lg（100 / 10） = 10dB，说明A比B大10dB。

例：如何理解：+3 dB表示增大为两倍，-3 dB表示下降为1/2。 如果A的功率开始为100mW，经过衰减变成了50mw，则10lg（50 / 100） = 10lg（1/ 2） = -10lg（2）= -3dB。 如果A的功率开始为100mW，经过放大变成了200mw，则10lg（200 / 100） = 10lg（2） = 3dB。

dBm介绍

dBm是一个表示功率绝对值（可以认为是以1mW功率为基准的一个比值），计算公式为：10log（功率值/1mw）。

记住一个口诀： 加3乘2， 加10乘10； 减3除2，减10除10 （+3 dB，表示功率增加为2倍；+10 dB，表示功率增加为10倍。-3 dB，表示功率减小为1/2；-10 dB，表示功率减小为1/10）。

例：功率P为1mw，折算为dBm后为0dBm。 40W的功率，按dBm单位进行折算后的值应为： 10log（40W/1mw)=10log（40000）= 46dBm。 按口决： 40W = 1w * (( 10 * 10 * 10)W * 10 * 2 * 2) => 10 + 10 + 10 + 10 + 3 + 3 = 46dBm 那么44dBm 是多少W？ (25W)

需要注意的是，对于功率的增益，我们用10lg（Po/Pi），而对于电压和电流的增益，要用20lg（Vo/Vi）、20lg（Io/Ii）。

原因是 这个2来源于电功率转换公式的平方上：

$$ P = UI = I^2R = \frac {U^2} {R} $$

SNR和EVM

SNR介绍

信噪比SNR（Signal-to-noise Ratio），指的是系统中信号与噪声的比。公式为 SNR = 10lg（Ps / Pn），其中：

$$ SNR(dB) = 10 *lg \frac {\int s(t)^2 \mathrm{d}t} {\int n(t)^2 \mathrm{d}t} = 10 * lg \frac {\int s(t)^2 \mathrm{d}t} {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t}\tag{1} $$

式中$ x(t) $ 为矢量reference signal，$ s(t) $ 为矢量输入信号。

EVM介绍

EVM

QAM 调制信号通常用其EVM 来衡量信号质量，EVM是英文Error Vector Magnitude缩写，意为误差向量幅度。

误差矢量Error Vector 的幅度与参考信号Reference Signal 幅度的比值。通常测量的EVM为其RMS 值（Root Mean Square均方根），计算公式如：

$$ EVM=\sqrt {\frac {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t} {\int x(t)^2 \mathrm{d}t}}\tag{2} $$

式中$ x(t) $ 为矢量reference signal，$ s(t) $ 为矢量输入信号。

大多时候，EVM用dB表示:

$$ EVM_{dB} = 10*lg{EVM} $$

SNR与EVM关系

从（1）式 和（2）式可以看出：当矢量输入信号$ s(t) $越接近于矢量reference signal $ x(t) $，即$ s(t) $可以用$ x(t) $代替，推导如下：

$$ \begin{array}{l} SNR(dB) = 10 * lg \frac {\int s(t)^2 \mathrm{d}t} {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t} \cr \approx 10 * lg \frac {\int x(t)^2 \mathrm{d}t} {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t} \cr = -1 * 10 * lg \frac {\int (x(t)-s(t))^2 \mathrm{d}t} {\int x(t)^2 \mathrm{d}t} \cr = -10 * lg({EVM}^2) \cr =-2 * 10 * lg(EVM) =-2EVM_{dB} \end{array} $$